Les indices muets

Considérons la formule donnant l'intervalle relativiste (note n° 14) : si dt, dx, dy et dz désigent respectivement le temps écoulé et les variations des coordonnées alors

ds = (c² dt² – dx² – dy ² –d z ²)^1/2 .

On voit que le temps fait l'objet d'un traitement particulier par rapport aux trois coordonnées de l'espace : pas de signe moins et le facteur c.

On amélore l'expression en nommant τ le produit algébrique     c t :

ds = (dτ ² – dx² – dy ² –d z ²)^1/2 .

Il reste le signe.

Première solution : nommer τ le nombre imaginaire i c t :

s = (– dτ ² – dx² – dy² – dz ²)^1/2 .

Seconde solution : la matrice métrique. C'est le tableau

1	0	0	0
0	-1	0	0
0	0	-1	0
0	0	0	-1

à qui on attribue les règles du calcul matriciel avec la colonne

dτ

dx

dy

dz

Pour écrire l'expression s on commence par attribuer un numéro à chaque coordonnée :

0 pour τ, 1 pour x, 2 pour y et 3 pour z.

On garde la lettre x pour n'importe quelle coordonnée et on l'affecte de ce numéro. Par tradition, les physiciens mettent le numéro "en haut", c'est-à-dire comme un exposant :

x⁰ = τ ; x¹ = x ; x² = y et x³ = z.

Les nombres de la matrice métrique sont par convention les g_{i j} où i est le numéro de la ligne et j celui de la colonne. Alors l'intervalle s'écrit

ds = (Σ_{(i et j de 0 à 3)} g_{i j} dxⁱ dx^j)^1/2 .

 

Mais les physiciens trouvent encore cette écriture trop lourde. Alors ils ont convenu que si un numéro de coordonnée ou de ligne ou de colonne de matrice est répété une fois "en haut" et une fois "en bas" comme c'est le cas pour i et j, de ne pas écrire le symbole de sommation

Σ_{(i et j de 0 à 3)}

 

et alors il ne reste que l'élégante formule

ds = (g_{i j} dxⁱ dx^j )^1/2 .

Le fait qu'il faille additionner les g_{i j} dxⁱ dx^j avec les i comme les j allant de zéro à trois est sous-entendu. Le résultat ds ne porte aucun numéro : on dit que les numéros i et j sont muets.

Coordonnées covariantes et contrevariantes

Considérons un changement de référentiel. Dans un second référentiel on a établi (note n°14) que le même intervalle vaut

ds' = (g_{i j} dx' ⁱ dx' ^j )^1/2

avec ds = ds'.

Mais si on multiplie par un nombre q le temps écoulé, alors les physiciens admettent que dt, dt' et chaque variation de coordonnée est aussi, et dans les deux référentiels à la fois, multipliée par q.

Si on applique à dx et aux autres dt' , dx' , dy' et dz' le théorème d'Euler (note n° 17) on trouve

dx = a dt' + b  dx' + c dy' + u dz' .

Il faudrait écrire les équations analogues pour dy, dz et dt, et alors on aurait pas assez de lettres dans l'alphabet. La numérotation des coordonnées et la double numérotation des coefficients d'Euler lève la difficulté :

dx₁ = a₁₀ dx' ⁰ + a₁₁  dx' ¹ + a₁₂ dx' ² + a₁₃ dx' ³

avec la convention d'écriture

a = a₁₀ ; b = a₁₁ ; c = a₁₂ et u = a₁₃.

De plus on voit la possibilité d'utiliser le code des numéros muets:

dx¹ = a¹_j dx' ^j .

Par généralisation bien naturelle:

dxⁱ = aⁱ _j dx' ^j.

Dans le changement réciproque de référentiel :

dx' ^j = a' ^j _i dxⁱ .

Le nom d'un numéro muet peut librement être changé sans altérer la signification de la formule :

dxⁱ = aⁱ _j dx' ^j = aⁱ _k dx^k' = aⁱ _n dxⁿ' = etc.

Ce fait est bien utile. Par exemple :

dxⁱ = aⁱ _j dx' ^j et dx' ^j = a' ^j _i dxⁱ réécrit dx' ^j = a' ^j _k dx^k

donnent par substitution

dxⁱ = aⁱ _j a' ^j _k dx^k .

Mais de toute évidence on a l'identité de Kronecker

dxⁱ = δⁱ _k dx^k

avec la matrice des δⁱ _k suivante, dite unitaire :

1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

Comme ceci est exact quelque soit le choix des dxⁱ on a démontré l'identité

aⁱ _j a' ^j _k = δⁱ _k .

La formule du carré de l'intervalle est :

ds² = g_{i j} dxⁱ dx^j réécrite dx_i dxⁱ , donc avec la convention d'écriture dx_i = g_{i j} dx^j.

Mais alors une remarque s'impose : dans un changement de référentiel, les x_i ne se comportent pas comme les xⁱ. Cela tient en la conservation de l'intervalle ds dans le changement de référentiel. Il faut en effet que

dx_i dxⁱ = dx'_i dx' ⁱ réécrit pour éviter toute confusion dx'_j dx' ^j .

On a dx'_j dx' ^j =  dx'_j a' ^j _k dx^k réécrit dx'_j a' ^j _i dxⁱ.

Comme ce qui est écrit est vrai quelque soit le choix des dx_i on a par identification

dx_i = a' ^j _i dx'_j différents en général des dxⁱ = aⁱ _j dx^j' parce que rien n'oblige en général les coefficients a' ^j _i et aⁱ _j d'être égaux.

Cela justifie l'écriture tantôt avec le numéro "en haut" et tantôt avec le numéro "en bas".

Jusqu'ici, on a semble-t-il raisonné et fait nos définitions dans des référentiels aux axes rectilignes et des mouvements rectilignes uniformes. On peut en effet utiliser la théorie des grandeurs proportionnelles (note n° 17).

Mais ces écritures restent en fait valables même si tout est courbe. La démarche intellectuelle est aussi donnée dans la note n° 17.

Quand par exemple on écrit

ds = (g_{i j} dxⁱ dx^j )^1/2

alors que les nombres g_ij sont des fonctions quelconques (mais quand-même dérivables au moins deux fois) g_ij(x^k ), ont imagine que à partir du "lieu" de coordonnées xⁱ les nombres g_ij restent fixées à leurs valeurs g_ij(x^k ) et alors ds est la valeur imaginaire de l'intervalle, sa valeur exacte δs n'ayant pas en général même pas d'expression mathématique.

Henri Second

La quadri-impulsion

La quadri-impulsion                                                                                        Note 32

 

Reprenons la coordonnée temporelle de la quadriforce :

F_t = m c² γ_t

avec la coordonnée temporelle de la quadriaccélération :

γ_t = du_t / ds      ;           u_t = [1 – v²/ c²] ^{– 1/2}.

Multiplions la quadriforce par l'intervalle :

F_t ds  = m c² γ_t ds = m c² du_t  :

F_t ds  = d{m c² [1 – v²/ c²] ^{– 1/2} }.

A gauche, on voit la multiplication d'une force par un déplacement (ds est en mètres), c'est à dire un travail, donc, en vertu de l'analogie avec le théorème de l'énergie cinétique (voir la note n° 19) à droite la quantité m c² [1 – v²/ c²] ^{– 1/2} doit représenter une énergie cinétique.

C'est ce que confirme le développement limité au premier ordre de cette quantité. Conseil : développer [1 – ε]^–1/2 : vous trouverez 1 + (1/2) ε qui, en remplaçant ε, donne

F_t ds  = d{m c²  + (1/2) m v²} = dE_c.

On trouve alors, en posant E_c = E quand v est nulle, l'origine conceptuelle de la célébrissime équation d'Einstein de l'énergie de la masse au repos d'un corps

E = m c² .

 

Recommençons avec les coordonnées spatiales de la quadriforce. Par exemple en abscisses

F_x = m c² γ_x ;

γ_x = du_x / ds     ;           u_x = v_x [c² – v²] ^{– 1/2}.

F_x ds = m c² du_x = c d{ m c u_x} .

 

F_x ds = c d{ m  v_x [1 – v²/ c²] ^{– 1/2}}.

Si la vitesse du corps est petite devant celle de la lumière, on trouve

F_x ds = c d{ m  v_x }.

Entre accolades, on lit la définition non relativiste de la quantité de mouvement, aussi appelée impulsion

p_x = m v_x

donc la nouvelle expression relativiste de cette grandeur est

p_x = m  v_x [1 – v²/ c²] ^{– 1/2} ;

p_y = m  v_y [1 – v²/ c²] ^{– 1/2} ;

 

p_z = m  v_z [1 – v²/ c²] ^{– 1/2} .

 

Les équations du mouvement relativiste se recopient donc

F_x = c (dp_x / ds)           ; F_y = c (dp_y / ds)         ; F_z = c (dp_z / ds) .

Par analogie, on définit la coordonnée temporelle de la quadri-impulsion par

p_t = m c u_t .

Elle vérifie (note n° 31)

F_t = c (dp_t / ds) .

On a donc

dE_c = F_t ds = d(c p_t)

 

et par identification

E_c = c p_t .

 

L'identité (note n° 31)

u_t² – u_x² – u_y² – u_z² = 1

donne avec la quadri-impulsion

p_t² – p_x² – p_y² – p_z² = m² c².

Par analogie avec la mécanique non retaliviste, la définition de l'énergie cinétique

E_c = (1/2) m v² = (1/2) m (v_x² + v_y² + v_z²)

donne la définition d'une "quadriénergie cinétique"

E_c = (1/2) m c² (u_t² – u_x² – u_y² – u_z²)

qui n'a aucun intérêt puisqu'elle reste toujours constante et égale à la moitié de l'énergie de masse au repos d'Einstein.

Nous verrons que paradoxalement, cette "quadriénergie cinétique" incorporée dans une nouvelle fonction de Lagrange va nous être très utile.

 

Henri Second

Mécanique relativiste

La mécanique en quatre dimensions

On a vu (note 14) que dans les changements de référentiels la conservation de la vitesse de la lumière dans le vide a induit chez les physiciens une nouvelle façon de concevoir l'espace et le temps. Dans cette note, on en est resté pour clarifier l'exposé aux mouvements rectilignes uniformes, c'est-à-dire à vitesse constante.

Jadis, disons dans la mécanique newtonienne ou encore non relativiste on avait séparément conservation des distances et du temps écoulé.

Aujourd'hui, dans la mécanique einsteinienne ou encore relativiste, on admet l'unique conservation de l'intervalle s = (c² t² – x² – y² – z ²)^1/2, ce qui nous amène à ne pouvoir considérer - sans une radicale remise en question du monde physique lui-même – que les corps circulant au plus aussi vite que la lumière.

C'est cet intervalle s qui désormais, en mécanique, va remplacer le temps dans les formules mathématiques, lesquelles formules fonctionnent sur quatre dimensions (l'espace-temps) au lieu de trois. Mais ces quatre dimensions sont à priori inhomogènes du point de vue des unités  : le temps est en secondes alors que les trois coordonnées de l'espace sont en mètres. Mais la grandeur τ = c t est aussi une grandeur en mètres et l'intervalle prend une forme plus symétrique

s = (τ² – x² – y² – z ²)^1/2

et son unité est le mètre.

Ainsi, l'ancienne vitesse de coordonnées

v_x = x / t ;

v_y = y / t et

v_z = z / t          

 

est remplacée par la quadrivitesse définie en quatre dimensions par

u_t = τ / s ;

u_x = x / s ;

u_y = y / s et

u_z = z / s .

 

Bien entendu, pour les mouvements naturels à vitesse variable, on fait comme si la la vitesse, donc la quadrivitesse, sont figées (note  17) :

Temps : dτ = c dt

Intervalle : ds = (dτ ² – dx² – dy² – dz ²)^1/2;

Ancienne vitesse :

v_x = dx / dt ;

v_y = dy / dt et

 v_z = dz / dt ;

 

Quadrivitesse :

u_t = dτ / ds ;

u_x = dx / ds ;

u_y = dy / ds et

u_z = dz / ds .

 

La quadrivitesse vérifie l'identité

u_t² – u_x² – u_y² – u_z² = 1.

 

Comme l'intervalle a le statut d'une longueur, la quadrivitesse n'a pas d'unité car elle est le quotient d'une distance par une autre.

Toujours avec la même idée générale, à savoir la transmission des idées de base newtoniennes à notre nouvelle concetion de l'espace-temps, on admet que la quadrivitesse est issue de la quadriaccélération, elle-même générée par une quadriforce comme la vitesse ordinaire est issue de l'accéléraion, elle-même générée par une force.

On a donc adopté pour la quadriaccélération la définition

γ_t = du_t / ds ;

γ_x = du_x / ds ;

γ_y = du_y / ds ;

γ_z = du_z / ds     .

 

L'unité d'une quadriaccélération est celle l'inverse d'une distance, le mètre^–1.

La quadriforce devrait se définir comme la multiplication de la masse par la quadriaccélération. Mais les unités ne suivent pas : si on écrit par exemple en abscisse

F_x = m γ_x

 

la quadriforce serait en kg m^–1 alors qu'en mécanique newtonienne la force doit être en kg.m.s^­2.

Il faut alors écrire

F_x = α m γ_x

avec un coefficient α qui serait en m²s^–2, donc serait le carré d'une vitesse. Comme il faut que α soit une constante universelle, et comme la seule vitesse qui soit une constante universelle est celle de la lumière dans le vide (note n°14), on a choisi α = c².

On retient la définition de la quadriforce

F_t = m c² γ_t ;

F_x = m c² γ_x;

F_y = m c²  γ_y ;

F_z = m c² γ_{z       .}

 

Bien entendu, il faut vérifier si la cohérence de ces formules avec celles de newton est assurée. Pour le faire, il faut établir par l'algèbre les expressions des "quadri" à partir des vitesse et accélération ordinaires. Après quelqus petits calculs

ds = [c² – v²] ^1/2 dt ;

u_t = dτ / ds = [1 – v²/ c²] ^{– 1/2} renommé β ^{– 1/2} ;

u_x = dx / ds = v_x [c² – v²] ^{– 1/2} ;

u_y = v_y [c² – v²] ^{– 1/2} ;

u_z = v_z [c² – v²] ^{– 1/2} .

 

Si la vitesse du corps est faible devant celle de la lumière, alors

ds = c dt ;

u_x = v_x / c ; u_y = v_y / c ; u_z = v_z / c .

 

Passons à la quadriaccélération : si la vitesse du corps est faible devant celle de la lumière

γ_x = du_x / ds = dv_x / dt / c² = a_x / c² ;

γ_y = a_y / c² ;

γ_z = a_z / c² .

 

La quadriforce, si la vitesse du corps est faible devant celle de la lumière, coïncide avec la force newtonienne :

F_x = m c² (a_x / c²) = m a_x ;

F_y = m a_y ; F_z = m a_{z            .}

 

Pour explorer les conséquences physiques de cette conceptualisation, une nouvelle note n'est pas superflue …

Henri Second