Enseignons l'intégrale avant la dérivée !

Qui n'a pas comme mauvais souvenir l'assimilation de la notion de vitesse instantanée ?
L'assimilation de la notion de dérivée ?
L'assimilation de ce quotient
f(x+h)-f(x) sur h
qui se stabilise quand le diviseur h tend vers zéro ?
D'ailleurs, une division par zéro, qui sait la faire ?

Cher lecteur, si vous vous reconnaissez, ou si vous reconnaissez quelques uns de vos élèves ou étudiants, alors lisez attentivement ce qui suit !

Pour modéliser la chute des corps, Galilée a conceptualisé la loi de vitesse avant d'en déduire la loi de hauteur de chute puis d'expérimenter. En se servant d'un vieux théorème médiéval.

Avant Maxwell, les physiciens ont conceptualisé la version intégrale de ses célèbres équations et non pas la version différentielle.

En bref, l'humanité a su intégrer avant de dériver.

Alors pourquoi pas enseigner l'intégrale avant la dérivée ?

Qu'est-ce, au fond, qu'une fonction dérivable ?
Une fonction qui représente une aire.
L'aire coïncée* entre une courbe continue "y = F(x)", deux parallèles à l'axe des ordonnées et l'axe des abscisses. L'aire d'une figure ABCD avec A avant B sur l'axe des abscisses et C et D sur la courbe (faites un petit dessin).
Nommons f(x) l'aire. Déplacez A d'une distance h le long de l'axe des abscisses.

L'aire f(x) varie de f(x+h)-f(x).
Cette variation est comprise entre la multiplication de la hauteur F(x) par h et celle de F(x+dx) par le même h. L'erreur d'appréciation de l'aire f(x) est manifestement F(x+dx)-F(x) multipliée par h. Par continuité, si h tend vers zéro, l'erreur tend aussi vers zéro.
Quand à notre quotient f(x+h)-f(x) sur h, il est toujours coïncé entre
F(x) et F(x+h).
Si h tend vers zéro, notre quotient se stabilise bel et bien sur F(x).

Conclusion: on peut se convaincre de la dérivabilité d'une fonction sans en préciser la formule, mais à condition de présenter d'abord l'intégration !

*sur un graphique, je pense que vous l'avez deviné ...